问题详情:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.
(1)求*:直线BD与⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.
【回答】
【解答】(1)*:连接OD、DE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠A+∠CDB=90°,
∴∠ADO+∠CDB=90°,
∴∠ODB=180°﹣90°=90°,
∴OD⊥BD,
∵OD是⊙O半径,
∴直线BD与⊙O相切;
(2)解:∵AE是⊙O直径,
∴∠ADE=90°=∠C,
∴BC∥DE,
∴△ADE∽△ACB,
∴=
∵D为AC中点,
∴AD=DC=AC,
∴AE=BE=AB,
DE是△ACB的中位线,
∴AE=AB,DE=BC=×6=3,
设AD=4a,AE=5a,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:DE=3a=3,
解得:a=1,
∴AE=5a=5,
答:⊙O的直径是5.
【点评】本题考查的知识点有圆周角定理、切线的判定、三角形的中位线定理,解(1)小题的关键是求出OD⊥BD,解(2)小题的关键是求出DE长,题目比较好,综合*比较强.
知识点:相似三角形
题型:综合题